Je suis heureux de pouvoir vous aider! Si vous avez d'autres questions, n'hésitez pas à me les poser. Je ferai de mon mieux pour vous aider.
Pour tout réel x, on a:
f(x) = x + 2 sin(x)
-f(x) = -x - 2 sin(x)
On a donc:
f(x) - (-f(x)) = x - (-x) = 2x
f(x) + (-f(x)) = 2 sin(x)
On en déduit que:
|f(x)| = |x + 2 sin(x)| = |x| + |2 sin(x)| ≤ |x| + 2
|f(x)| ≤ |x| + 2
Comme |x| + 2 est positif, on en déduit que:
|f(x)| ≤ |x| + 2 ≤ x + 2
De même, on a:
|f(x)| = |x + 2 sin(x)| = |x| + |2 sin(x)| ≥ |x| - |2 sin(x)|
|f(x)| ≥ |x| - 2
Comme |x| - 2 est positif, on en déduit que:
|f(x)| ≥ |x| - 2 ≥ x - 2
On en déduit que, pour tout réel x, x - 2 ≤ f(x) ≤ x + 2.
Ceci prouve la première partie de l'énoncé.
