Bonjour, pourrais-je avoir de l'aide s'il vous plait pour cette question? Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x + 2 sin(x). 1. Montrer que pour tout réel x, x-2 ≤ f(x) ≤ x+2. ​

Bonjour, pourrais-je avoir de l'aide s'il vous plait pour cette question?
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x + 2 sin(x). 1. Montrer que pour tout réel x, x-2 ≤ f(x) ≤ x+2. ​

Je suis heureux de pouvoir vous aider! Si vous avez d'autres questions, n'hésitez pas à me les poser. Je ferai de mon mieux pour vous aider.

Pour tout réel x, on a:

f(x) = x + 2 sin(x)

-f(x) = -x - 2 sin(x)

On a donc:

f(x) - (-f(x)) = x - (-x) = 2x

f(x) + (-f(x)) = 2 sin(x)

On en déduit que:

|f(x)| = |x + 2 sin(x)| = |x| + |2 sin(x)| ≤ |x| + 2

|f(x)| ≤ |x| + 2

Comme |x| + 2 est positif, on en déduit que:

|f(x)| ≤ |x| + 2 ≤ x + 2

De même, on a:

|f(x)| = |x + 2 sin(x)| = |x| + |2 sin(x)| ≥ |x| - |2 sin(x)|

|f(x)| ≥ |x| - 2

Comme |x| - 2 est positif, on en déduit que:

|f(x)| ≥ |x| - 2 ≥ x - 2

On en déduit que, pour tout réel x, x - 2 ≤ f(x) ≤ x + 2.

Ceci prouve la première partie de l'énoncé.